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Geometria clássica

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Geometria clássica

A matemática começa a ganhar contornos de ciência com os gregos da Antigüidade Clássica, nos séculos VII a III a.C. O conhecimento acumulado até então não passava de regras práticas para resolver problemas concretos.

Os gregos sistematizam a aritmética e a geometria empíricas das civilizações do Mediterrâneo, principalmente a egípcia e as da Mesopotâmia. Privilegiam a geometria como fio condutor de suas investigações.

Geometria clássica

Vivendo não em grandes impérios, mas em cidades-estados, e integrantes da primeira civilização que desenvolve o conceito de cidadão, os gregos valorizam o indivíduo e a razão e são os primeiros a relacionar as obras ao nome de seus autores.

Método dedutivo grego

Os matemáticos da Grécia antiga são os primeiros a utilizar dois processos mentais indispensáveis para todo o progresso posterior da matemática: a abstração e a demonstração (ou prova).

Estudam a natureza dos problemas e de suas soluções, criam modelos formais e abstratos para representar as questões concretas e leis gerais para explicar seu comportamento.

Geometria clássica

Constroem um método lógico para demonstrar suas formulações: partem de verdades simples e irrefutáveis e, com elas, vão construindo raciocínios mais elaborados.

Seu modelo de organização do conhecimento, baseado na abstração, na prova e na construção lógica do raciocínio, influencia todo o desenvolvimento científico do mundo ocidental.

Um dos primeiros pensadores conhecidos a fazer isso é Tales, de Mileto. Mais tarde, Pitágoras e a comunidade de pensadores pitagóricos chegam a novas descobertas aplicando o mesmo método.

Tales, de Mileto (século VI a.C.)

Tales, de Mileto (século VI a.C.) é considerado o primeiro filósofo grego a definir normas abstratas e desvinculadas de qualquer aplicação prática para o desenvolvimento da geometria.

Rico negociante de azeite da cidade de Mileto, litoral da Ásia Menor (atual Turquia), Tales percorre inúmeras vezes o litoral do Mediterrâneo entre 600 a.C. e 550 a.C. e conhece a obra de vários matemáticos e astrônomos da região.

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Ao aposentar-se, dedica-se à matemática como passatempo e estabelece os primeiros postulados básicos da geometria. Estuda retas e ângulos e faz demonstrações formais e rigorosas sobre as relações geométricas no círculo e no triângulo isósceles.

Pitágoras (580 a.C.?-500 a.C.?)

Pitágoras (580 a.C.?-500 a.C.?) é um dos mais conhecidos matemáticos gregos da Antigüidade. Natural de Samos, ilha do litoral mediterrâneo da Ásia Menor, próxima a Mileto, Pitágoras viaja pelos centros culturais da Mesopotâmia, Pérsia e Egito.

Com o tempo, transforma-se numa espécie de líder religioso. Funda uma seita que adora os números como expressão da razão absoluta e cultua Orfeu, o mitológico inventor da lira de nove cordas. Seus membros constroem uma comunidade em Crotona, na Magna Grécia (sudoeste da Itália).

Dedicam-se à ciência de forma anônima, assinando o nome da fraternidade pitagórica, ou simplesmente Pitágoras, em todos os seus trabalhos.

As obras associadas ao nome de Pitágoras são escritas em um período de tempo muito superior ao que um homem pode viver. Por isso, muitos historiadores questionam se o matemático realmente existiu. Pitágoras poderia ser apenas o nome do grupo e não o de um indivíduo.

Teorema de Pitágoras

Os pitagóricos acreditam que existe uma harmonia básica na natureza e que ela poderia ser expressa por meio das relações entre os números inteiros. Estudam música, para eles a suprema expressão dessa harmonia, e descobrem os fundamentos matemáticos da escala musical. Consideram a esfera e o círculo como formas perfeitas.

Observam os movimentos harmoniosos dos corpos celestes – que chamam de música das esferas – e concluem que o céu, a Terra e os demais corpos celestes são esféricos e se movimentam em órbitas circulares.

Geometria clássica

Estudam o triângulo retângulo, solução engenhosa da inteligência humana presente tanto na construção de simples bancos quanto nas grandes pirâmides egípcias, e formulam o teorema do triângulo retângulo, hoje conhecido como teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos (a² = b² + c²).

Números irracionais

Uma das descobertas mais importantes dos pitagóricos são os números irracionais: aqueles que não são inteiros (como 1, 2 ou 3) nem podem ser expressos por uma relação entre inteiros (como as frações 5/7 ou 13/5, por exemplo). Os números irracionais surgem pela primeira vez como resultado da aplicação do teorema de Pitágoras.

Para um triângulo em que os lados b e c são iguais a 1 (a2 = 12 + 12), por exemplo, o resultado é a = 2. Este número introduz um dado de irracionalidade no universo harmônico e racional imaginado pelos pitagóricos.

O quadrado de um número é obtido multiplicando-se o número por ele mesmo. A base de 2 é um número inteiro (o 2) mas a extração da raiz de 2 nunca chega a um número exato. É uma fração de casas decimais sem fim.

Síntese euclidiana

Por volta do ano 300 a.C., Alexandre, o Grande, havia submetido todos os povos do Mediterrâneo. Alexandria, na foz do rio Nilo, torna-se a principal capital da cultura grega.

É ali que o matemático Euclides (315 a.C.?-255 a.C.?) começa a colecionar as descobertas e os teoremas formulados por Tales, Pitágoras, Eudóxio, Zenão, Demócrito e outros grandes matemáticos gregos.

Sistematiza essas descobertas em Os elementos, com 13 volumes, reunindo praticamente tudo o que a humanidade sabe até hoje sobre pontos, retas, planos, figuras geométricas elementares.

A obra também sintetiza a aritmética até então conhecida, estabelece as primeiras relações algébricas e a primeira teoria dos números. Resume esses conhecimentos em dez premissas básicas cinco postulados e cinco axiomas.

Axiomas são premissas evidentes, que se admitem como verdadeiras sem exigência de demonstração. Postulados são proposições não evidentes e não demonstráveis que se admitem como princípio de um sistema lógico.

Axiomas e postulados da Síntese euclidiana

Os axiomas do postulados da síntese euclidiana são cinco, confira a seguir:

  1. Coisas iguais a uma terceira são iguais entre si.

  2. Acrescentando-se quantidades iguais a coisas iguais entre si, obtêm-se somas iguais.

  3. Subtraindo-se quantidades iguais de coisas iguais entre si, os restos serão iguais.

  4. As coisas que coincidem uma com a outra são iguais entre si.

  5. Se uma reta, ao cortar outras duas, forma
    ângulos internos, no mesmo lado, cuja soma é menor do
    que dois ângulos retos, então estas duas retas
    encontrar-se-ão no lado onde estão os ângulos cuja soma
    é menor do que dois ângulos retos.

Abaixo seguem os postulados da Síntese euclidiana.

Os postulados

No total são cinco postulados da Síntese euclidiana, leia abaixo:

1º – Pode-se traçar uma linha reta de qualquer ponto para qualquer ponto.

2º – Sobre uma linha reta pode-se traçar uma outra reta contínua e finita.

3º – Pode-se traçar um círculo tendo-se qualquer ponto como centro, com raio igual a qualquer reta traçada a partir do centro.

4º – Todos os ângulos retos são iguais entre si.

5º – Dados uma linha reta e qualquer ponto situado fora dela, pode-se traçar por este ponto uma reta, e apenas uma, paralela à primeira.

Confira agora o próximo tema da geometria clássica.

Curvas cônicas

Depois de Euclides, a geometria grega ainda produz dois gênios: Arquimedes (287 a.C.-212 a.C.) e Apolônio (262 a.C.?-180 a.C.?). Arquimedes descobre um método para calcular o volume da esfera e é um dos pioneiros nos estudos de física matemática.

Na obra Sobre o equilíbrio dos planos, demonstra o poder das alavancas e, em Sobre corpos flutuantes, descreve a mecânica dos fluidos. Apolônio descreve as seções cônicas (elipse, parábola e hipérbole), curvas obtidas pela interseção de um cone por um plano.

Dezessete séculos depois, os astrônomos modernos usarão as curvas demonstradas por Apolônio para descrever as órbitas dos planetas e cometas.

Referências bibliográficas da Geometria clássica

  • BOYER, Carl B. História da matemática. São Paulo: E. Blucher, 1974.
  • FONTES, Helio Carvalho di Oliveira, Fundação Getulio Vargas. No passado da matemática. Rio de Janeiro: Fundação Getulio Vargas/Serv. de Publicações, 1969.
  • AABOE, Asger. Episódios da história antiga da matemática. (Rio de Janeiro): Sociedade Brasileira de Matemática, 1984.

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